Tugas Media Menggunakan Gambar

6. Turunan Fungsi

         Diketahui dengan dan Jika fungsi dapat diturunkan di x = a, untuk a bilangan real maka

Oleh karena a bilangan real maka

Dengan cara yang sama, dapatkan Anda memperoleh

Untuk mendekati nol maka mendekati nol sehingga

, sehingga . Untuk maka .

Contoh 8.15

Tentukan turunan fungsi berikut ini
a.                               c.     .
b.    
Jawab
a.   
Misalkan,maka sehingga
        
b.   
        
c.   
              

Tugas Media dengan menggunakan MathML

6. Turunan Fungsi $y=u^n$

         Diketahui $y=f\left(u\right)$ dengan $f\left(u\right)=u^n$ dan $u=g\left(x\right)$. Jika fungsi $u=g\left(x\right)$ dapat diturunkan di $x=a$,
untuk $a$ bilangan real maka
$g^{\prime }\left(a\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{g\left(a+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}$
         Oleh karena $a$ bilangan real sebarang maka
         $g^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta \times \to 0}{\lim }\frac{g\left(a+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}\to g^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}$
         Dengan cara yang sama, Dapatkah Anda memperoleh
$f^{\prime }\left(u\right)=\underset{\Delta u\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta u}$?
         Untuk $\Delta x$ mendekati nol maka $\Delta u$ mendekati nol sehingga
$f^{\prime }\left(u\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }=\frac{\Delta y}{\Delta u}\mathrm{dan}{g}^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta u\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}$
$\underset{\Delta u\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta u}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}=f^{\prime }\left(u\right)g^{\prime }\left(x\right)$
$\iff \underset{\Delta u\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta u}\frac{\Delta u}{\Delta x}=f^{\prime }\left(u\right)g^{\prime }\left(x\right)$
$\iff \underset{\Delta u\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }\left(u\right)g^{\prime }\left(x\right)$
$\iff y^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(u\right)g^{\prime }\left(x\right)$
$f\left(u\right)=u^n$, $f^{\prime }\left(u\right)=n{u}^{n-1}$ sehingga $y^{\prime }\left(x\right)=n{u}^{n-1}{u}^{\prime }\left(x\right)$.
Untuk $y=u^n$ maka $y^{\prime }$ = n u⁡ n - 1 u⁡ ′ x .

Contoh 8.15

Tentukan turunan fungsi berikut ini
a.    $f\left(x\right)={\left(2+3x^2\right)}^9$                           c.    $f\left(x\right)=3{\sin }^3\frac{1}{x}+2{\cos }^2\frac{x}{2}$.
b.    $f\left(x\right)={\left(5+2x\right)}^3+\sqrt{2x+1}$
Jawab
a.    $f\left(x\right)={\left(2+3x^2\right)}^9$
      Misalkan,$u=2+3x^2$ maka $u^{\prime }\left(x\right)=6x$ sehingga $f\left(x\right)=u^9$
      $f^{\prime }\left(x\right)=9u^8·u^{\prime }\left(x\right)=9{\left(2+3x^2\right)}^8·6x=54x{\left(2+3x^2\right)}^8$
b.    $f\left(x\right)={\left(5+2x\right)}^3+\sqrt{2x+1}={\left(5+2x\right)}^3+{\left(2x+1\right)}^{\frac{1}{2}}$
      $f^{\prime }\left(x\right)=3{\left(5+2x\right)}^2·2+\frac{1}{2}{\left(2x+1\right)}^{-\frac{1}{2}}·2=6{\left(5+2x\right)}^2+\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$
c.    $f^{\prime }\left(x\right)=3\left(3{\sin }^2\frac{1}{x}\right)\left(\cos \frac{1}{x}\right)\left(-\frac{1}{x^2}\right)+2\left(2\cos \frac{x}{2}\right)\left(-\sin \frac{x}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$
                $=-\frac{9}{x^2}{\sin }^2\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}-\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$